Povezan graf ▫$G$▫ imenujemo razdaljno regularen graf, če je za vsak par vozlišč ▫$u$▫ in ▫$V$▫ grafa ▫$G$▫ na razdalji ▫$i$▫ število ▫$c_i$▫ (oziroma ▫$b_i$▫) sosedov vozlišča ▫$v$▫ na razdalji ...▫$i-1$▫ (oziroma ▫$i+1$▫) od vozlišča ▫$u$▫ odvisno samo od števila ▫$i$▫. Razdaljno regularen graf diametra ▫$d \in \{2m,2m+1\}$▫ je antipoden (▫$r$▫-listen krov svojega zvitega grafa), če in samo če je ▫$b_i = c_{d-i}$▫ za ▫$i = 0,...,d$▫, ▫$i \ne m$▫, ▫$(r = 1+b_m/c_{d-m})$▫. Dodekaeder je na primer dvolisten krov Petersenovega grafa, kocka pa je dvolistni krov tetraedra. večina dovolj pravilmih lončnih objektov je tesno povezana z razdaljno regularnimi grafi. Tako so na primer nekateri antipodni razdaljno regularni grafi ekvivalentni projektivnim ravninam, Hadamardovim matrikam ali pa kakšnim drugim zanimivim kombinatoričnim objektom. Razdaljno regularni grafi tako omogočajo alternativen pristop k tem objektom in s tem uporabo lastnih vrednosti grafov, prezentacije grafov, shem asociativnosti in teorije ortogonalnih polinomov. Najprej s pomočjo cikličnih krovov in posplošenih četverokotnikov odkrijemo preklapljanje, s katerim konstruiramo iz nekaterih neskončnih družin antipodnih razdaljno regularnih grafov diametra 3 nove neskončne družine razdaljno regularnih grafov diametra 3. Nato študiramo antipodne razdaljno regularne grafe diametra 4 in 5, izračunamo vsa njihova presečna števila ter Kreinove in absolutne meje. V primeru diametra 4 uporabiva z J. Koolenom prezentacije grafov za posplošitev rezultatov P. Terwilligerja, ki je s pomočjo Kreinovih modulov dokazal, da je v ▫$Q$▫-polinomskih antipodnih razdaljno regularnih grafih okolica vsakega vozlišča krepko regularen graf. Iz tega izpeljeva nove kriterije za neeksistenco krovov. V neprimitivnih shemah asociativnosti vedno obstaja fuzija (t.j. grupiranje relacij), ki nam da nove netrivialne sheme asociativnosti. Določimo, kdaj nam dajo fuzije v antipodnih razdaljno regularnih grafih zopet razdaljno regularne grafe. To pripelje do našega glavnega rezultata, karakterizacije določenih antipodnih razdaljno regularnih grafov z regularnimi bližnjimi mnogokotniki. V primeru diametra 3 dobimo Brouwerjevo karakterizacijo določenih razdaljno regularnih grafov s posplošenimi četverokotniki. Pogledamo še antipodne krove krepko regularnih grafov, ki niso nujno razdaljno regularni. V večini primerov nam struktura kratkih ciklov omogoča, da določimo eksistenco antipodnih krovov. Raziskujemo zvezo med antipodnimi krovi grafov in krovi njihovih povezav. Od tod izpeljemo karakterizacijo antipodnih krovov polnih bipartitnih grafov in krovov njihovih grafov povezav s šibko rezolviranimi transverzalnimi designi. Ti so v primeru maksimalnega krovnega indeksa ekvivalentni afinim ravninam brez enega paralelnega razreda. Zaključimo s predstavitvijo dveh rezultatov, ki poudarita pomembnost antipodnih razdaljno regularnih grafov. Prvi je skupno delo z M. Arayo in A. Hirakijem. Naj bo ▫$G$▫ razdaljno regularni graf z diametrom ▫$d$▫ in valenco ▫$k>2$▫. Če je ▫$b_t=1$▫ in ▫$2t \le d$▫, potem je ▫$G$▫ antipoden dvolisten krov. Iz tega sledi, da za večkratnost lastne vrednosti ▫$m>2$▫ matrike sosednosti grafa ▫$G$▫, ki ni antipoden dvolisten krov, velja ▫$d \le 2m-3$▫. To je izboljšava Godsilove omejitve diametra in je zelo pomembna pri klasifikaciji razdaljno regularnih grafov z majhnimi večkratnostmi lastnih vrednosti (ki je dualna klasifikaciji razdaljno regularnih grafov z majhno valenco). Drugi rezultat je skupno delo s C. Godsilom. Tu pokaževa, da so razdaljno regularni grafi, v katerih so maksimalno neodvisne poti kratke, antipodni. Konstruirava novo neskončno družino možnih parametrov antipodnih razdaljno regularnih grafov z diametrom 4. Uporabiva še ekvitabilne particije pri faktorizaciji determinant Töplitzovih matrik na produkt dveh približno pol manjših determinant.
It was not necessary to add the material to the shelf.
Bibliographic material was successfully added on shelf.
Adding bibliographical material on shelf was not successful.
Material is already on the shelf.
Permalink
URL:
Impact factor
Access to the JCR database is permitted only to users from Slovenia. Your current IP address is not on the list of IP addresses with access permission, and authentication with the relevant AAI accout is required.
Year
Impact factor
Edition
Category
Classification
JCR
SNIP
JCR
SNIP
JCR
SNIP
JCR
SNIP
Select the library membership card:
DRS,
in which the journal is indexed
Database name
Field
Year
Links to authors' personal bibliographies
Links to information on researchers in the SICRIS system
Subject headings in COBISS General List of Subject Headings
Select pickup location
The material from the parent unit is free. If the material is delivered to the pickup location from another unit, the library may charge you for this service.
