Akademska digitalna zbirka SLovenije - logo
VSE knjižnice (vzajemna bibliografsko-kataložna baza podatkov COBIB.SI)
  • Polinomske in funkcijske identitete : magistrsko delo
    Benkovič, Dominik
    V magistrskem delu sta obdelani teoriji polinomskih in funkcijskih identitet. Po uvodnem poglavju, kjer so opisani osnovni pojmi teorije nekomutativnih kolobarjev, se prične obravnava kolobarjev in ... algeber s polinomsko identiteto. Algebra R nad komunitativnim kolobarjem K zadošča polinomski identiteti oziroma je PI algebra, če obstaja tak neničelni polinom f ▫$f(X_1,...,X_n)$▫ iz proste algebre ▫$K(X_1,X_2,...)$▫, da je ▫$f(r_1,...,r_n) = 0$▫ za vse ▫$r_i\in R$▫. Najpreprostejši primer algebre s polinomsko identiteto je komunitativna algebra, saj zadošča polinomski identiteti ▫$X_1X_2-X_2X_1$▫. Izkaže se, da je tudi ▫$M_n(K)$▫ algebra ▫$n\times n$▫ matrik nad K, PI algebra. O tem med drugim govori Amitsur-Levitzkijev izrek, ki je glavni rezultat uvodnih razdelkov o polinomskih identitetah. Podrobneje je obravnavana klasična strukturna teorija PI algeber. Vključena sta osnovna strukturna izreka: Kaplanskyjev izrek, ki opiše primitivne PI algebre in Posnerjev izrek, ki opiše PI prakolobarje. Povedano poenostavljeno ta izreka pravita, da lahko PI kolobarje pri razmeroma milih pogojih predstavimo (oz. vložimo) v algebro matrik nad obsegom, ki je hkrati končno razsežna algebra nad poljem. Drugi del magistrske naloge je namenjen modernejši teoriji funkcijskih identitet. Le-to lahko gledamo kot posplošitev oz. neke vrste dopolnilo teorije polinomskih identitet. Publikacije o funkcijskih identitetah sodijo v obdobje zadnjih desetih let. Zametke te teorije je postavil M. Brešar, najsplošnejše rezultate pa so nedavno dobili tudi nekateri drugi matematiki, predvsem K. I. Beidar. Funkcijska identiteta je identiteta, izpolnjena za vse elemente kolobarja R (oz. vsaj za vse elemente iz primernih podmnožic R, v kateri nastopajo neznane preslikave. Pomemben primer funkcijske identitete, kateri bo namenjen osrednji del poglavja o funkcijskih identitetah, je identiteta oblike ▫$\sum_{i=1}^n E_i(x_1,...x_i-1,x_i+1,...,x_n)x_i+\sum_{i=1}^n x_iF_i(x_1,...x_i-1,x_i+1,...,x_n)=0$▫ kjer so ▫$x_i$▫ poljubni elementi iz R, Ei in Fj pa poljubne preslikave iz ▫$R^n-1=R \times ... \times R v R$▫ .Če so na primer vse preslikave ▫$E_i$▫ in ▫$F_j$▫ polinomske funkcije, se ta funkcijska identiteta reducira na polinomsko identiteto. Pri obravnavi funkcijskih identitet gledamo na preslikave kot na neznanke v enačbi. Običajno najprej poiščemo rešitve dane funkcijske identitete, ki niso odvisne od strukture kolobarja. Takim rešitvam standardne rešitve. V primeru, ko obstaja nestandardna rešitev, se praviloma izkaže, da obravnavani kolobar zadošča neki polinomski identiteti. V magistrskem delu obravnava funkcijskih identitet sloni na pojmu d-prostih podmnožic kolobarja. Nekoliko poenostavljeno lahko d-prosto množico opišemo kot podmnožico kolobarja, na kateri imajo vse funkcijske identitete osnovnega tipa v največ d spremenljivkah le standardno rešitev. Pomembno vlogo igrata tudi pojma ulomljive in krepke stopnje elementa iz kolobarja. Izkaže se, da so kolobarji, ki vsebujejo elemente ustrezne ulomljive oz. krepke stopnje, d-prosti. Funkcijske identitete so se izkazale kot izjemno koristno sredstvo pri reševanju problemov iz različnih področij. Najpomembnejša doslej znana uporaba te teorije je rešitev klasičnih Hersteinovih problemov o Liejevih izomorfizmih in Liejevih odvajanjih. Kot primer uporabe teorije funkcijskih identitet so na koncu obravnavane preslikave, ki ohranjajo komutativnost
    Vrsta gradiva - magistrsko delo ; neleposlovje za odrasle
    Založništvo in izdelava - Maribor : [D. Benkovič], 2001
    Jezik - slovenski
    COBISS.SI-ID - 10786312

Knjižnica/institucija Kraj Akronim Za izposojo Druga zaloga
Miklošičeva knjižnica - FPNM, Maribor Maribor PEFMB v čitalnico 1 izv.
Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana Ljubljana NUK v čitalnico 1 izv.
Univerzitetna knjižnica Maribor Maribor UKM v čitalnico 1 izv.
loading ...
loading ...
loading ...

Vnos na polico