Magical Mathematics reveals the secrets of amazing, fun-to-perform card tricks--and the profound mathematical ideas behind them--that will astound even the most accomplished magician. Persi Diaconis ...and Ron Graham provide easy, step-by-step instructions for each trick, explaining how to set up the effect and offering tips on what to say and do while performing it. Each card trick introduces a new mathematical idea, and varying the tricks in turn takes readers to the very threshold of today's mathematical knowledge. For example, the Gilbreath Principle--a fantastic effect where the cards remain in control despite being shuffled--is found to share an intimate connection with the Mandelbrot set. Other card tricks link to the mathematical secrets of combinatorics, graph theory, number theory, topology, the Riemann hypothesis, and even Fermat's last theorem.
We consider new types of perfect shuffles wherein a deck is split in half, one half of the deck is “reversed,” and then the cards are interlaced. Flip shuffles are when the reversal comes from ...turning the half of the deck over so that we also need to account for face-up/face-down configurations, while horseshoe shuffles are when the order of the cards are reversed but all cards still face the same direction. We show that these shuffles are closely related to faro shuffling and determine the order of the associated shuffling groups. An application of this theory is given through a card trick based on applying different shuffles of eight cards.
Inserting Plus Signs and Adding Butler, Steve; Graham, Ron; Stong, Richard
The American mathematical monthly,
03/2016, Letnik:
123, Številka:
3
Journal Article
Recenzirano
For a fixed base b, we consider the following operation called “insert and add” on a natural number: Write the number as a string of digits and between some of the digits insert a plus sign; finally, ...carry out the indicated sum. If at least one plus sign is inserted, this results in a smaller natural number and so repeated application can always reduce the number to a single digit. We show that for any base b, surprisingly few applications of this operation are needed to get down to a single digit.
Starting with any nondegenerate triangle, we can use an interior point of the triangle to subdivide it into six smaller triangles. We can repeat this process with each new triangle, and continue ...doing so over and over. We show that starting with any arbitrary triangle, the resulting set of triangles formed by this process contains triangles arbitrarily close (up to similarity) to any given triangle when the point that we use to subdivide is the incenter.
How efficiently can a large square of side length
x
be packed with non-overlapping unit squares? In this note, we show that the uncovered area
W
(
x
) can be made as small as
O
(
x
3
/
5
)
. This ...improves an earlier estimate which showed that
W
(
x
)
=
O
(
x
(
3
+
2
)
/
7
log
x
)
.
Sir William Van Horne (1843–1915), connaisseur bourré de talent dont la renommée est surtout attribuable à sa contribution à la construction du Chemin de fer Canadien Pacifique, a assemblé l’une des ...collections les plus complètes de céramiques japonaises en Amérique du Nord. Obsession est un récit lumineux expliquant l’origine et l’évolution de sa passion envers l’étude et l’acquisition de près de 1 200 objets. Ron Graham dresse le profil du personnage plus grand que nature que fut Van Horne en plus de rassembler des essais sur la place qu’il a occupée au sommet des collectionneurs d’art dans le Mille carré doré, ou Golden Square Mile, de Montréal et la pérennité de sa collection après sa mort. En exergue des textes, le lecteur pourra découvrir des documents et des photographies historiques, un catalogue détaillé de plus de trois cents objets exposés au Musée royal de l’Ontario et au Musée des beaux-arts de Montréal, de même qu’une sélection de splendides reproductions des carnets de notes personnels de Van Horne et des aquarelles raffinées provenant des archives du Musée des beaux-arts de l’Ontario. Publié parallèlement à la tenue d’une importante exposition au musée Gardiner de Toronto et au Musée des beaux-arts de Montréal, Obsession présente une remarquable collection replacée dans le contexte de l’existence et de la carrière d’un géant du secteur canadien des affaires au dix-neuvième siècle.Sir William Van Horne (1843–1915), connaisseur bourré de talent dont la renommée est surtout attribuable à sa contribution à la construction du Chemin de fer Canadien Pacifique, a assemblé l’une des collections les plus complètes de céramiques japonaises en Amérique du Nord. Obsession est un récit lumineux expliquant l’origine et l’évolution de sa passion envers l’étude et l’acquisition de près de 1 200 objets. Ron Graham dresse le profil du personnage plus grand que nature que fut Van Horne en plus de rassembler des essais sur la place qu’il a occupée au sommet des collectionneurs d’art dans le Mille carré doré, ou Golden Square Mile, de Montréal et la pérennité de sa collection après sa mort. En exergue des textes, le lecteur pourra découvrir des documents et des photographies historiques, un catalogue détaillé de plus de trois cents objets exposés au Musée royal de l’Ontario et au Musée des beaux-arts de Montréal, de même qu’une sélection de splendides reproductions des carnets de notes personnels de Van Horne et des aquarelles raffinées provenant des archives du Musée des beaux-arts de l’Ontario. Publié parallèlement à la tenue d’une importante exposition au musée Gardiner de Toronto et au Musée des beaux-arts de Montréal, Obsession présente une remarquable collection replacée dans le contexte de l’existence et de la carrière d’un géant du secteur canadien des affaires au dix-neuvième siècle.
In simple card games, cards are dealt one at a time and the player guesses each card sequentially. We study problems where feedback (e.g., correct/incorrect) is given after each guess. For decks with ...repeated values (as in blackjack where suits do not matter), the optimal strategy differs from the "greedy strategy" (of guessing a most likely card each round). Further, both optimal and greedy strategies are far too complicated for real-time use by human players. Our main results show that simple heuristics perform close to optimal.
Given a sequence z¯=(z1,z2,…) where zk∈0,1d, the dispersion of z¯ is defined byμd(z¯)=infn≥1infm≥1n1/d‖zm−zm+n‖, where ‖⋅‖ is taken to be the L1 metric ‖⋅‖1 on 0,1d. This is a natural measure for how ...“spread out” the sequence z¯ is. In this paper, we investigate αd:=supz¯μd(z¯). Note that the requirement μd(z¯)=αd>0 is a very stringent condition on the distribution of the zi. For example, it implies that ‖zm−zm+1‖≥αd for all m≥1. We show by construction that αd≥((2d−1(2d−1))1/d(1+∑k≥11F2k))−1>0.098 where Fn denotes the nth Fibonacci number. We also introduce a combinatorial problem for d-tuples of permutations which yields bounds on αd. This work extends previous results of the authors where the value of α1 is determined.
