The golden age of mathematics-that was not the age of Euclid, it is ours. C. J. KEYSER This time of writing is the hundredth anniversary of the publication (1892) of Poincare's first note on ...topology, which arguably marks the beginning of the subject of algebraic, or "combinatorial," topology. There was earlier scattered work by Euler, Listing (who coined the word "topology"), Mobius and his band, Riemann, Klein, and Betti. Indeed, even as early as 1679, Leibniz indicated the desirability of creating a geometry of the topological type. The establishment of topology (or "analysis situs" as it was often called at the time) as a coherent theory, however, belongs to Poincare. Curiously, the beginning of general topology, also called "point set topology," dates fourteen years later when Frechet published the first abstract treatment of the subject in 1906. Since the beginning of time, or at least the era of Archimedes, smooth manifolds (curves, surfaces, mechanical configurations, the universe) have been a central focus in mathematics. They have always been at the core of interest in topology. After the seminal work of Milnor, Smale, and many others, in the last half of this century, the topological aspects of smooth manifolds, as distinct from the differential geometric aspects, became a subject in its own right.
U euklidskoj ravnini poznato je da je produkt tri simetrije ponovo simetrija ako i samo ako se njihove osi sijeku u jednoj zajedničkoj točki. Također poznat je i neeuklidski analogon ''teorema tri ...simetrije" (3RT), vidi npr. 4. U ovom članku predstavljene su afine verzije tog teorema
tako da se proučavaju tri mimosmjerne simetrije kojima se osi sijeku u
jednoj točki. Pokazat će se da je važno, u svim verzijama 3RT-a, da se tri para (os, smjer simetrije) danih (mimosmjernih) simetrija mogu proučavati kao involutivni projektivitet. Za euklidski i neeuklidski slučaj ovo svojstvo je automatski ispunjeno. Sa stajališta projektivne geometrije (mimosmjerna) simetrija je harmonička homologija. U afinoj geometriji simetrija je indirektna involutivna transformacija, dok u projektivnoj geometriji nema smisla govoriti o ''direktnoj" i ''indirektnoj" transformaciji. Harmonička homologija dopušta interpretaciju i kao osnu simetriju i kao centralnu
simetriju. Ipak, može se proučavati produkt triju harmoničkih homologija koji je ponovno harmonička homologija. Nekim posebnim međusobnim položajima centara i osi danih homologija može se dobiti elacija ili čak identitet.
Posljedica danih rezultata su daljnje generalizacije 3RT-a, npr. u ravninama s Minkowski metrikom, afinim ili projektivnim
3-dimenzionalnim prostorima ili u geometrijama kružnice.
Sve perspektivne kolineacije u realnoj afinoj ravnini klasificiraju se s obzirom na karakterističnu konstantu te položaj središta i osi. Pokazuje se, kako odabrati temeljne elemente perspektivne ...kolineacije kako bi se neka konika i njezina slika dodirivale u jednoj ili dvije točke, oskulirale se ili hiperoskulirale. Na afinim se modelima izotropne i pseudoeuklidske ravnine pomoću perspektivne kolineacije konstruiraju oskulacijske kružnice konika.
PDF