Promatramo veze između osam projektivnih težišta četverokuta u univerzalnoj hiperboličnoj geometriji koji su analogoni baricentričnom središtu euklidskog četverokuta. Određujemo teoretske uvjete ...postojanja tih središta i pokazujemo da osam težišta tvore dva četverokuta koji zajedno s danim četverokutom imaju trostruku perspektivnu simetriju. I dijagonalni trokuti ovih četverokuta su
trostruko perspektivni.
Postoje djela prekretnice u povijesti umjetnosti, znanosti, tehnici i humanistici. Takvo djelo je i slika Las Meninas. Povjesničari i teoretičari su predložili nekoliko razina ''čitanja" i ...istraživanja djela te su se pojavila brojna tumačenja. Izgleda da još uvijek vrlo sofisticirana konstrukcija ovog remek djela nije pod jednoznačnom hipotezom što ga čini jednako zadivljujućim koliko i zagonetnim.
Naše zanimanje za ovo izvanredno remek djelo proizlazi iz činjenice da slika pripada posebnoj kategoriji djela čije se značenje temelji i neraskidivo je povezano s njihovom projektivnom strukturom. Stoga, svjesni opsežnosti implikacija mi ćemo se fokusirati na njezin geometrijski i grafički značaj.
Uvodimo novi pojam sidtočaka u projektivnu geometriju trokuta s obzirom na opću bilinearnu formu. One su analogoni polovišta i dopuštaju nam proširiti hiperboličku geometriju trokuta ka neklasičnim ...trokutima s točkama unutar i van apsolutne konike. Mogu se definirati neočekivani analogoni opisanih kružnica koji uključuju pojavljivanje kružnica blizanki što vodi ka osam kružnica sa zanimljivim svojstvima presjeka.
S^2×R geometrija izvodi se kao direktni produkt sferne rav-
nine S^2 i realnog pravca R. U članku 9, treći je autor odredio geodetske krivulje i geodetske kugle prostora S^2×R, izračunao njihov ...volumen i definirao pojam popunjavanja geodetskim kuglama i njegovu gustoću. Pored toga, razvio je metodu određivanja gustoće popunjavanja geodetskim kuglama za generalizirane Coxeterove grupe prostora S^2×R i primijenio taj algoritam na njih.
U 3 je E. MOLNAR pokazao da homogeni 3-prostori
imaju jedinstvenu interpretaciju u projektivnim 3-sferama
PS^3(V^4,V_3,R). U našem članku koristit ćemo projektivni model S^2×R geometrije te se na taj način geodetske linije i kugle mogu vizualizirati na euklidskom ekranu računala.
Nadalje, definirat ćemo pojam plohe jednako udaljene od
dviju točaka, odrediti njezinu jednadžbu te je vizualizirati
u pojedinim slučajevima. Također ćemo pokazati mogući način pojednostavljena računa i dobiti jednadžbe plohe s točnijim geometrijskim značenjem. Slike su napravljene u Wolframovom programu Mathematica.
