Promatramo veze između osam projektivnih težišta četverokuta u univerzalnoj hiperboličnoj geometriji koji su analogoni baricentričnom središtu euklidskog četverokuta. Određujemo teoretske uvjete ...postojanja tih središta i pokazujemo da osam težišta tvore dva četverokuta koji zajedno s danim četverokutom imaju trostruku perspektivnu simetriju. I dijagonalni trokuti ovih četverokuta su
trostruko perspektivni.
Proučavamo četverostruku simetriju određenu četverovrhom, čiji su vrhovi središta upisanih (pripisanih) kružnica danog trokuta, te vezu s opisanom kružnicom trokuta koja je u ovom slučaju konika ...devet
točaka spomenutog četverokuta. Proučavajući Eulerove pravce takozvanih upisanih trokuta, pokazujemo da je poopćenje klasične Schifflerove točke skup od četiriju točaka koje leže na Eulerovom pravcu. Promatra se četverokut u čijim se vrhovima sijeku Eulerovi pravci upisanih trokuta, te njegov dijagonalni trokut. Kako se koristi algebarski pristup, dobiveni rezultati vrijede za opću bilinearnu formu. Dajemo i primjer svojevrsnog nestanka četverostruke simetrije.
Članak pruža jednostavan slikovni uvod u univerzalnu u hiperboličku geometriju. Objašnjava se kako razumjeti sadržaj koristeći samo osnovnu projektivnu geometriju, proširenu jednom istaknutom ...kružnicom. Na taj se način dobiva potpuno algebarski okvir za hiperboličku geometriju, koji vrijedi nad poljem racionalnih brojeva (i u biti nad bilo kojim poljem karakteristike različite od 2) i daje
mnoge nove lijepe teoreme. Ovi su rezultati prikazani crtežima u boji, a čitatelj je pozvan provjeriti ih konstruktivno i računski.
Kromogeometrija povezuje ravninsku euklidsku geometriju, ovdje zvanu plavom geometrijom, te dvije relativističke geometrije, nazvane crvenom i zelenom geometrijom. Pokazuje se da ukoliko trokut ima ...četiri plava i četiri crvena središta upisanih (odnosno pripisanih) kružnica, tada tih osam točaka leži na zelenoj kružnici čije je središte zeleni ortocentar trokuta. Vrijede i druge dvije analogne tvrdnje. Tangente na upisane kružnice stvaraju nove zanimljive četverokute i konkurentnosti. Dokazi se provode u okviru racionalne trigonometrije sa standardnim koordinatama za geometriju trokuta. Transformacija diletacije dozvoljava proširenje rezultata na Nagelove i Speikerove točke.
Na temelju algebarskog pristupa univerzalne geometrije, uvodimo geometriju trokuta u projektivno-metrički okvir. To rezultira jednim novim oblikom hiperboličke geometrije trokuta. Tri su glavne ...okosnice: hijerarhije ortocentara, središta upisanih i središta opisanih kružnica, od kojih su posljednje dvije dualne. Primjena ortolinearnih koordinata u formulama ima bitnu ulogu. Istaknuto je pet posebnih točaka (b, z, x, h i s) koje leže na ortogonalnoj osi A. Bogato kaleidoskopsko gledište karakterizira obradu teme.
Uvodimo novu definiciju parabole u okvir univerzalne hiperboličke geometrije, pokazujemo mnoge analogone s euklidskom geometrijom, ali i neka izvanredna nova svojstva. Osnovna je tehnika ...uspostavljanje paraboličnih standardnih koordinata u kojima parabola ima jednadžbu oblika xz = y^2. Ističemo otkriće parabole blizanke, vezu sa sidtočkama, mnoge neočekivane konkurentnosti i kolinearnosti, konstrukciju evolute te određivanje (do najviše) četiriju točaka parabole u kojima normale parabole prolaze jednom točkom.
Razvijamo opću geometriju trokuta koristeći proizvoljnu bilinearnu formu u afinoj ravnini nad općim poljem. Uvodeći standardizirane koordinate pronalazimo kanonske oblike nekih osnovnih središta i ...pravaca. Proučavamo snažnu konkurentnost četvorki pravaca koji pripadaju “hijerarhiji središta upisane kružnice” uključujući i spojnice odgovarajućih sjecišta simetrala kutova trokuta, Georgonnovih točaka, Nagelovih točaka, Mittenpunkova (imenovano sa strane autora, op. ur.) te Novih točaka koje se uvode u članku. Slike su prikazane u tzv. zelenoj geometriji.
Uvodimo novi pojam sidtočaka u projektivnu geometriju trokuta s obzirom na opću bilinearnu formu. One su analogoni polovišta i dopuštaju nam proširiti hiperboličku geometriju trokuta ka neklasičnim ...trokutima s točkama unutar i van apsolutne konike. Mogu se definirati neočekivani analogoni opisanih kružnica koji uključuju pojavljivanje kružnica blizanki što vodi ka osam kružnica sa zanimljivim svojstvima presjeka.
U radu se pokazuje kako novija formulacija osnova klasične
geometrije i trigonometrije otkriva trostruku simetriju između euklidske i neeuklidskih (relativističkih) ravninskih geometrija. ...Primjenjujemo kromogeometriju kako bismo konike vidjeli u novom svjetlu.
Weyl Quantization is a procedure for associating a function on T*(//R)('M), the cotangent bundle of (//R)('m), an operator in a Hilbert space on which the canonical commutation relations are ...realized. If G is a simply-connected, connected nilpotent Lie group with Lie algebra g and dual g*, we show how to inductively construct symplectic isomorphisms between every co-adjoint orbit O and T*(//R)('m) for some m. Weyl Quantization can than be used to associate to each orbit O a unitary representation (rho)(,O) of G, recovering the classification of the unitary dual by Kirillov. Further, an associated algebra structure on L('2)(T*(//R)('m)) allows one to define a kernel function e : T*G (--->) S('1) which plays a similar role in the harmonic analysis of G as does e('ix(xi)) for (//R). It is used to define a 'geometric Fourier transform', F : L('1)(G) (--->) functions on g*, and it is shown that the usual operator-valued Fourier transform can be recovered from F, characters are 'inverse Fourier transforms' of invariant measures on orbits, and matrix coefficients are 'inverse Fourier transforms' of non-invariant measures supported on orbits. We obtain realizations of the representations (rho)(,O) in subspaces of L('2)(O). Finally, the kernel function is computed for the upper triangular unipotent group and one other example.
