Dans cette thèse, nous étudions le volume et la caractéristique d'Euler de sous-variétés aléatoires de codimension r ∈ {1, . . . , n} dans une variété ambiante M de dimension n. Dans un premier ...modèle, dit des ondes riemanniennes aléatoires, M est une variété riemannienne fermée. Nous considérons alors le lieu Zλ des zéros communs de r combinaisons linéaires aléatoires indépendantes de fonctions propres du laplacien associées à des valeurs propres inférieures à λ 0. Nous obtenons alors les asymptotiques du volume moyen et de la caractéristique d'Euler moyenne de Zλ lorsque λ tend vers l'infini. Dans un second modèle, M est le lieu réel d'une variété projective définie sur les réels. On s'intéresse dans ce cadre au lieu d'annulation réel Zd d'une section holomorphe réelle globale aléatoire de E⊗Ld, où E est un fibré hermitien de rang r, L est un fibré en droites hermitien ample et tous deux sont définis sur les réels. Nous estimons alors les moyennes du volume et de la caractéristique d'Euler de Zd quand d tend vers l'infini. Dans ce modèle algébrique réel, nous calculons aussi l'asymptotique de la variance du volume de Zd pour 1 r < n. Nous en déduisons, dans ce cas, des résultats asymptotiques d'équidistribution de Zd dans M
We study the volume and Euler characteristic of codimension r ∈ {1, . . . , n} random submanifolds in a dimension n manifold M. First, we consider Riemannian random waves. That is M is a closed Riemannian manifold and we study the common zero set Zλ of r independent random linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian associated to eigenvalues smaller than λ 0. We compute estimates for the mean volume and Euler characteristic of Zλ as λ goes to infinity. We also consider a model of random real algebraic manifolds. In this setting, M is the real locus of a projective manifold defined over the reals. Then, we consider the real vanishing locus Zd of a random real global holomorphic section of E ⊗ Ld, where E is a rank r Hermitian vector bundle, L is an ample Hermitian line bundle and both these bundles are defined over the reals. We compute the asymptotics of the mean volume and Euler characteristic of Zd as d goes to infinity. In this real algebraic setting, we also compute the asymptotic of the variance of the volume of Zd, when 1 r < n. In this case, we prove asympotic equidistribution results for Zd in M
Dans une première partie théorique, nous nous penchons sur une analyse rigoureuse des performances de l'algorithme Sequential Monte Carlo (SMC) conduisant à des résultats de type bornes L^p et ...inégalités de concentration. Nous abordons notamment le cas particulier des SMC associés à des schémas de température, et analysons sur ce sujet un processus à schéma adaptatif.Dans une seconde partie appliquée, nous illustrons son utilisation par la résolution de problèmes inverses concrets en électromagnétisme. Le plus important d'entre eux consiste à estimer les propriétés radioélectriques de matériaux recouvrant un objet de géométrie connue, et cela à partir de mesures de champs rétrodiffusés. Nous montrons comment l'algorithme SMC, couplé à des calculs analytiques, permet une inversion bayésienne, et fournit des estimées robustes enrichies d'estimations des incertitudes.
Sequential and Quantum Monte Carlo methods, as well as genetic type search algorithms, can be interpreted as a mean field and interacting particle approximation of Feynman-Kac models in distribution spaces. The performance of these population Monte Carlo algorithms is strongly related to the stability properties of nonlinear Feynman-Kac semigroups. In a first theoretical part, we analyze these models in terms of Dobrushin ergodic coefficients of the reference Markov transitions and the oscillations of the potential functions. Sufficient conditions for uniform concentration inequalities w.r.t. time are expressed explicitly in terms of these two quantities. We provide an original perturbation analysis that applies to annealed and adaptive FK models, yielding what seems to be the first results of this kind for these type of models. Special attention is devoted to the particular case of Boltzmann-Gibbs measures' sampling. In this context, we design an explicit way of tuning the number of Markov Chain Monte Carlo iterations with temperature schedule. We also propose and analyze an alternative interacting particle method based on an adaptive strategy to define the temperature increments. In a second, applied part, we illustrate the use of these SMC algorithms in the field of inverse problems. Mainly, the following electromagnetism (EM) inverse problem is addressed. It consists in estimating local radioelectric properties of materials recovering an object from global EM scattering measurements, at various incidences and wave frequencies. This large scale ill-posed inverse problem is explored by an intensive exploitation of an efficient 2D Maxwell solver, distributed on high performance computing machines. Applied to a large training data set, a statistical analysis reduces the problem to a simpler probabilistic metamodel, on which Bayesian inference can be performed. Considering the radioelectric properties as a hidden dynamic stochastic process, that evolves in function of the frequency, it is shown how the Sequential Monte Carlo methods can take benefit of the structure and provide local EM property estimates.
L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés arithmétiques et combinatoires de la fonction somme des chiffres. Nous commençons par étudier les sommes d'exponentielles de la forme ...$dissum_{nleq x}expleft(2ipileft(frac{l}{m}S_q(n)+frac{k}{m'}S_{q}(n+1)+theta nright)right)$ en vue de montrer un résultat d'équirépartition modulo $1$ et un théorème probabiliste d'ErdH{o}s-Kac. Ensuite, on va généraliser un problème dû à Gelfond concernant l'étude de la répartition dans les progressions arithmétiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres ellipséphiques. En particulier, on donne un théorème analogue à celui d'Erdös, Mauduit et S'arközy sur l'uniforme répartition des entiers ellipséphiques dans les progressions arithmétiques sous une contrainte sur la somme des chiffres. Enfin, une étude de l'ordre moyen de certaines fonctions arithmétiques soumises à des contraintes digitales est faite en conséquence des travaux de Mkaouar et Wannès.
The aim of this thesis is the study of some arithmetic and combinatoric properties of the sum of digits function. We start by the study of exponential sums of the form $dissum_{nleq x}expleft(2ipileft(frac{l}{m}S_q(n)+frac{k}{m'}S_q(n+1)+theta nright)right)$ in order to establish a result of equidistribution modulo $1$ in addition to a probabilistic theorem of the kind ErdH{o}s-Kac. Then, we generalize a problem due to Gelfond concerning the distribution in residue classes of the sum of digits function in the case of integers with missing digits. Besides, we give a similar result to that of ErdH{o}s, Mauduit and S'ark"{o}zy on the uniform distribution of integers with missing digits in arithmetic progressions under a constraint on the sum of digits. Finally, a study of the order of magnitude of some arithmetical functions under digital constraints is done as a consequence of the works of Mkaouar and Wannès.
Cette thèse porte sur le développement de méthodes de Monte-Carlo pour calculer des représentations Feynman-Kac impliquant des opérateurs sous forme divergence avec un coefficient de diffusion ...constant par morceaux. Les méthodes proposées sont des variantes de la marche sur les sphères à l'intérieur des zones avec un coefficient de diffusion constant et des techniques de différences finies stochastiques pour traiter les conditions aux interfaces aussi bien que les conditions aux limites de différents types. En combinant ces deux techniques, on obtient des marches aléatoires dont le score calculé le long du chemin fourni un estimateur biaisé de la solution de l'équation aux dérivées partielles considérée. On montre que le biais global de notre algorithme est en général d'ordre deux par rapport au pas de différences finies. Ces méthodes sont ensuite appliquées au problème direct lié à la tomographie par impédance électrique pour la détection de tumeurs. Une technique de réduction de variance est également proposée dans ce cadre. On traite finalement du problème inverse de la détection de tumeurs à partir de mesures de surfaces à l'aide de deux algorithmes stochastiques basés sur une représentation paramétrique de la tumeur ou des tumeurs sous forme d'une ou plusieurs sphères. De nombreux essais numériques sont proposés et montrent des résultats probants dans la localisation des tumeurs.
This thesis deals with the development of Monte-Carlo methods to compute Feynman-Kac representations involving divergence form operators with a piecewise constant diffusion coefficient. The proposed methods are variations around the walk on spheres method inside the regions with a constant diffusion coefficient and stochastic finite differences techniques to treat the interface conditions as well as the different kinds of boundary conditions. By combining these two techniques, we build random walks which score computed along the walk gives us a biased estimator of the solution of the partial differential equation we consider. We prove that the global bias is in general of order two with respect to the finite difference step. These methods are then applied for tumour detection to the forward problem in electrical impedance tomography. A variance reduction technique is also proposed in this case. Finally, we treat the inverse problem of tumours detection from surface measurements using two stochastics algorithms based on a spherical parametric representation of the tumours. Many numerical tests are proposed and show convincing results in the localization of the tumours.
Les masures ont été introduites en 2008 par Gaussent et Rousseau afin d’étudier les groupes de Kac-Moody sur les corps locaux. Elles généralisent les immeubles de Bruhat-Tits. Dans cette thèse, ...j’étudie d’une part les propriétés des masures et d’autre part leurs applications en arithmétique et en théorie des représentations. Rousseau a donné une définition axiomatique des masures, inspirée par la définition de Tits des immeubles de Bruhat-Tits. Je propose une axiomatique plus simple et plus agréable à manipuler et je montre que mon axiomatique est équivalente à celle de Rousseau.Nous étudions (en collaboration avec Ramla Abdellatif) les algèbres de Hecke sphériques et d’Iwahori-Hecke introduites par Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau. Nous démontrons que contrairement au cas réductif, le centre de leur algèbre d’Iwahori-Hecke est quasiment trivial, et n’est en particulier pas isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons donc une algèbre d’Iwahori-Hecke complétée, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous associons aussi des algèbres de Hecke à des faces sphériques comprises entre 0 et l’alcôve fondamentale de la masure,généralisant la construction de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau de l’algèbre d’Iwahori-Hecke.La formule de Gindikin-Karpelevich est une formule importante dans la théorie des groupes réductifs sur les corps locaux. Récemment, Braverman,Garland, Kazhdan, et Patnaik ont généralisé cette formule au cas des groupes de Kac-Moody affines. Une partie importante de leur preuve consiste à montrer que cette formule est bien définie, c’est à dire que les nombres intervenants dans cette formule, qui sont les cardinaux de certains sous groupes de quotients du groupe étudié sont bien finis. Je démontre cette finitude dans le cas des groupes de Kac-Moody généraux. J’étudie aussi les distances sur une masure. Je montre qu’on ne peux pas avoir de distance ayant les mêmes propriétés que dans le cas réductif. Je construis des distances ayant des propriétés moins forte mais qui semblent intéressantes.
Masures were introduced in 2008 by Gaussent and Rousseau in order to study Kac-Moody groups over local fields. They generalize Bruhat-Tits buildings. In this thesis, I study the properties of masures and the application of the theory of masures in arithmetic and representation theory. Rousseau gave an axiomatic of masures, inspired by the definition by Tits of Bruhat-Tits buildings. I propose an axiomatic, which is simpler and easyer to handle and I prove that my axiomatic is equivalent to the one of Rousseau. We study (in collaboration with Ramla Abdellatif) the spherical and Iwahori-Hecke algebras introduced by Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau. We prove that on the contrary to the reductive case, the center of the Iwahori-Hecke algebra is almost trivial and is in particular not isomorphic to the spherical Hecke algebra. We thus introduce a completed Iwahori-Hecke algebra, whose center is isomorphic to the spherical Hecke algebra. We also associate Hecke algebras to spherical faces between 0 and the fundamental alcove of the masure, generalizing the construction of Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau of the Iwahori-Hecke algebra.The Gindikin-Karpelevich formula is an important formula in the theory of reductive groups over local fields. Recently, Braverman, Garland, Kazhdanand Patnaik generalized this formula to the case of affine Kac-Moody groups. An important par of their prove consists in proving that this formula iswell-defined, which means that the numbers involved in this formula, which are the cardinals of certain subgroup of quotients of the studied subgroupare finite. I prove this finiteness in the case of general Kac-Moody groups.I also study distances on a masure. I prove that there is no distance having the same properties as in the reductive case. I construct distances having weaker properties, but which seem interesting.
Nous présentons ici une nouvelle axiomatique des systèmes de racines infinis, comme ceux intervenant dans l'étude des algèbres de Kac–Moody–Borcherds, qui ne fait aucune référence à une base du ...système. Ceci est une nouvelle réponse au problème posé en 1979 par R. Moody Adv. Math. 33 (1979) 144 et pour lequel J.G. Bliss a déjà proposé deux définitions : les « systèmes de racines géométriques » et les « systèmes de racines rationnels ». La théorie développée ici utilise de façon essentielle celle des systèmes générateurs de racines exposée dans N. Bardy, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 65 (1996) qui elle-même était compatible avec celle proposée par Moody et Pianzola Trans. Amer. Math. Soc. 315 (1989) 661.
This paper presents an axiomatic description in a base free way of infinite root systems as those found in the study of Kac–Moody–Borcherds' algebras. In 1979, R. Moody Adv. Math. 33 (1979) 144 posed the problem of finding such a description. In Comm. Algebra 23 (1995) 4791, J.G. Bliss has already presented two answers to this question with his notions of “geometric root systems” and “rational root systems.” This new answer to Moody's question fits into the framework of the earlier axiomatic theory of the « systèmes générateurs de racines » developed in N. Bardy, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 65 (1996).
Soit U une fonction définie sur un ensemble fini E muni d'un noyau markovien irréductible M. L'objectif du papier est de comparer théoriquement deux procédures stochastiques de minimisation globale ...de U : le recuit simulé et un algorithme génétique. Pour ceci on se placera dans la situation idéalisée d'une infinité de particules disponibles et nous ferons une hypothèse commode d'existence de suffisamment de symétries du cadre (E,M,U). On verra notamment que contrairement au recuit simulé, toute évolution logarithmique de l'inverse de la température conduit asymptotiquement à concentrer les dynamiques de Feynman-Kac recuites sur certains minima globaux de U (du moins si M ne fait pas sortir de leur ensemble en un temps presque immédiat). Par contre, ces dernières ont tendance à oublier plus difficilement leur condition initiale et on quantifiera précisément cette propriété. Enfin on présentera les conjectures correspondantes dans une situation plus générale.
Let U be a function defined on a finite set E which is endowed with an irreducible Markov kernel M. The main purpose of this paper is to theoretically compare two stochastic procedures for the global minimization of U: simulated annealing and a genetic algorithm. For the latter we simplify the analysis by considering an infinite number of particles. Furthermore, we assume that the setting (E,M,U) is sufficiently symmetrical and that M does not force particles to get out of ${\cal U}$ in bounded time, where ${\cal U}$ is the set of global minima of U. Contrarily to simulated annealing, for all logarithmic inverse temperature evolutions, the considered genetic algorithms concentrate in large time on some particular elements of ${\cal U}$ that we will describe. But it is more difficult for these genetic algorithms to forget their initial condition and we will quantify this property. Corresponding conjectures for more general situations will also be pointed out.
Les modèles de chaînes de Markov cachées ou plus généralement ceux de Feynman-Kac sont aujourd'hui très largement utilisés. Ils permettent de modéliser une grande diversité de séries temporelles (en ...finance, biologie, traitement du signal, ...) La complexité croissante de ces modèles a conduit au développement d'approximations via différentes méthodes de Monte-Carlo, dont le Markov Chain Monte-Carlo (MCMC) et le Sequential Monte-Carlo (SMC). Les méthodes de SMC appliquées au filtrage et au lissage particulaires font l'objet de cette thèse. Elles consistent à approcher la loi d'intérêt à l'aide d'une population de particules définies séquentiellement. Différents algorithmes ont déjà été développés et étudiés dans la littérature. Nous raffinons certains de ces résultats dans le cas du Forward Filtering Backward Smoothing et du Forward Filtering Backward Simulation grâce à des inégalités de déviation exponentielle et à des contrôles non asymptotiques de l'erreur moyenne. Nous proposons également un nouvel algorithme de lissage consistant à améliorer une population de particules par des itérations MCMC, et permettant d'estimer la variance de l'estimateur sans aucune autre simulation. Une partie du travail présenté dans cette thèse concerne également les possibilités de mise en parallèle du calcul des estimateurs particulaires. Nous proposons ainsi différentes interactions entre plusieurs populations de particules. Enfin nous illustrons l'utilisation des chaînes de Markov cachées dans la modélisation de données financières en développant un algorithme utilisant l'Expectation-Maximization pour calibrer les paramètres du modèle exponentiel d'Ornstein-Uhlenbeck multi-échelles
Hidden Markov chain models or more generally Feynman-Kac models are now widely used. They allow the modelling of a variety of time series (in finance, biology, signal processing, ...) Their increasing complexity gave birth to approximations using Monte-Carlo methods, among which Markov Chain Monte-Carlo (MCMC) and Sequential Monte-Carlo (SMC). SMC methods applied to particle filtering and smoothing are dealt with in this thesis. These methods consist in approximating the law of interest through a particle population sequentially defined. Different algorithms have already been developed and studied in the literature. We make some of these results more precise in the particular of the Forward Filtering Backward Smoothing and Forward Filtering Backward Simulation by showing exponential deviation inequalities and by giving non-asymptotic upper bounds to the mean error. We also introduce a new smoothing algorithm improving a particle population through MCMC iterations and allowing to estimate the estimator variance without further simulation. Part of the work presented in this thesis is devoted to the parallel computing of particle estimators. We study different interaction schemes between several particle populations. Finally, we also illustrate the use of hidden Markov chains in the modelling of financial data through an algorithm using Expectation-Maximization to calibrate the exponential Ornstein-Uhlenbeck multiscale stochastic volatility model
Le but de ce travail est d’étendre la théorie de Bruhat-Tits au cas des groupes de Kac-Moody sur des corps locaux. Il s’agit donc de définir un espace géométrique sur lequel un tel groupe agit, ...semblable à l’immeuble de Bruhat-Tits d’un groupe réductif. En fait, la première partie reste dans le cadre de la théorie de Bruhat-Tits puisqu’on y définit une famille de compactification des immeubles affines. C’est dans la seconde partie qu’en s’inspirant de la construction de la première, on aborde le cas des groupes de Kac-Moody. Les espaces obtenus ne vérifient pas toutes les conditions demandées à un immeuble, ils sont donc appelés des masures (bordées).
This work aims at generalizing Bruhat-Tits theory to Kac-Moody groups over local fields. We thus try to construct a geometric space on wich such a group will act, and wich will look like the Bruhat-Tits building of a reductive group. Actually, the first part stays in the field of Bruhat-Tits theory as it exposes a family of compactification of an ordinary affine building. It is in the second part that we move to Kac-Moody theory, using the first part as a guide. The spaces obtained do not satisfy all the requirement for a building,they will be called (bounded) hovels (”masures” in french).
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