The progress of the field of non-linear optics greatly depends on our ability to find solutions of various differential equations that naturally occur in the systems where light interacts with ...nonlinear media. Though re-creating the systems through experiment and performing computer simulations are the two most common and fruitful approaches, the ultimate goal remains to find exact solutions of these systems. The goal of this Thesis is to combine the work done in the field of finding exact solutions to certain classes of non-linear differential Schrödinger equations (NLSE). Most notably, there has been a breakthrough as of late in applying various expansion techniques in finding certain exact solutions to various NLSE. Despite the limitations of combining said solutions due to the non-linear nature of the solutions and the fact that not all solutions can be found using these techniques, the very fact that we can identify certain exact solutions is of tremendous importance to the field, especially when it comes to evaluating the kinds of functions and behavior that are possible within such systems. This Thesis will focus primarily on applying the F-expansion technique using the Jacobi elliptic functions (JEFs) to solve various forms of the NLSE with the cubic nonlinearity. The NLSE with a cubic nonlinearity is one of fundamental importance in the field of nonlinear optics because it describes the travelling of a light wave through a medium with a Kerr-like nonlinearity. Through certain modification of the technique we can find exact solutions in a very large class of systems. The systems I present in this Thesis will share a certain set of common properties. All of the equations I will tackle have a single longitudinal variable, either temporal or spatial, due to the application of the paraxial wave approximation, and up to three transverse dimensions, again both temporal and spatial. If all the transverse variables are spatial I x assign to the sum of their second derivatives a diffraction coefficient β whereas if one of them is temporal, I speak of the diffraction/dispersion coefficient. The two coefficients can be normalized into one, up to their sign. In the case of anomalous dispersion, the two coefficients have the same sign. In the case of normal dispersion, the two coefficients have the opposite signs. Apart from these terms which are present in the ordinary wave equation of linear optics, we also have the third order nonlinearity whose strength is determined by a parameter χ and we also have the term γ which describes the gain of loss of the signal inside our system. The first system I will tackle in the Thesis is the NLSE with a cubic nonlinearity, for both the anomalous and normal dispersion. In the case of the normal dispersion, the symmetry between the temporal and other transverse variables is broken, and a previously unknown ansatz had to be used. I obtained that the solutions for the two systems behave similarly. If one modifies the diffraction and nonlinearity sinusoidally, one can obtain stable solitary and traveling wave solutions. Then I will apply the F-expansion technique to obtain solutions for systems with higherorder nonlinearities, most notably the Cubic-Quintic (CQ) and Septic nonlinearities. I present, to the best of my knowledge, the first exact and stable solutions for these system. I then expand our method to include solutions for the Gross-Pitaevskii (GP) equation. In applying the F-expansion technique for this equation I encounter the Ricatti equation which cannot in general be solved for many systems. I present a large class of systems for which there are solutions to the Ricatti equation and from these solutions construct a large class of exact solutions for the GP equations. For constant strength of the external quadratic potential our solutions decay and we need an external gain to maintain these solutions, but for a sinusoidal form of the potential strength, one can obtain stable solutions. Additional solutions can be found for more complex forms of the diffraction coefficient and potential strength. I then study the effect of a linear potential on a NLSE with a cubic nonlinearity. The addition of the potential is studied in great detail and new solutions are obtained for this system. Finally, I analyze the stability of the aforementioned solutions. It is established that in most circumstances the obtained solutions are modulationally stable when dispersion management is used.
Napredak u nelinearnoj optici umnogome zavisi od naše sposobnosti da nađemo nova rešenja raznih diferencijalnih jednačina koje se prirodno javljaju u sistemima gde svetlost interaguje sa nelinearnom sredinom. Iako su rekreiranje ovih sistema kroz eksperiment i kompjuterska simulacija sistema dva najčešća i plodotvorna pristupa, krajnji cilj ostaje da se nađu egzaktna rešenja ovih sistema. Cilj ove teze je da kombinuje ranije tehnike nalaženja egzaktnih rešenja diferencijalnih jednačina i primeni ih na nelinearnu Šredingerovu diferencijalnu jednačinu (NŠDJ). Konkretno, nastao je nedavno proboj u primenama određenih tehnika ekspanzije u nalaženju određenih egzaktnih rešenja NŠDJ. Uprkos ograničenju u kombinovanju rešenja zbog nelinearnosti sistema i činjenice da ne mogu opšta rešenja da se nađu, sama činjenica da možemo identifikovati neka egzaktna rešenja je od velikog značaja za oblast, posebno kod evaluiranja kakve su pojave moguće u takvim sistemima. Ova teza će se fokusirati na primenu tehnike F-ekspanzije koristeći se Jakobijevim eliptičnim funkcijama (JEF) da bi se rešile razne forme NŠDJ sa nelinearnošću trećeg stepena. NŠDJ sa nelinearnošću trećeg stepena je od fundamentalne važnosti za oblast nelinearne optike jer opisuje putovanje svetlosti kroz materijal sa Kerovom nelinearnošću. Određenim modifikacijama tehnike F-ekspanzije možemo naći egzaktna rešenja za široku klasu sistema. Sistemi koje ja prezentujem u tezi imaju određen skup zajedničkih osobina. Sve jednačine imaju jednu longitudinalnu promenjivu, ili prostornu ili vremensku, zbog paraksijalne aproksimacije, i do tri transferzalne dimenzije, takođe ili prosrotne ili vremenske ponaosob. Ako su sve transferzalne variable prostorne vii onda sumu njihovih drugih izvoda množim sa koeficijentom difrakcije β, a ako je neka od varijabli temporalna, onda govorim o koeficijentu difrakcije/disperzije. Ta dva koeficijenta (difrakcija i disperzija) mogu da se normalizuju u jedan do na znak. U slučaju anomalne disperzije koeficijenti imaju isti znak, a u slučaju normalne disperzije suprotan znak. Osim ova dva koeficijenta redukovana u jedan, imamo takođe i koeficijent χ koji određuje jačinu nelinearnosti trećeg stepena, i koeficijent γ koji određuje dobitak (za pozitivno γ) ili gubitak signala u našem sistemu. Prvi sistem koji ću proučiti u svojoj tezi je standardna NŠDJ sa kubičnom nelinearnošću i u anomalnoj i u normalnoj disperziji. U slučaju normalne disperzije, cimetrija između prostornih i vremenske varijable je razbijena. Dobijam da se rešenja dva sistema slično ponašaju. Ako se koefigijenti difrakcije/disperzije i nelinearnosti modifikuju da budu sinusoidalni onda se može dobiti stabilni solitonski i putujući talasi. Prvi sistem koji ću proučiti u svojoj tezi je standardna NŠDJ sa kubičnom nelinearnošću i u anomalnoj i u normalnoj disperziji. U slučaju normalne disperzije, cimetrija između prostornih i vremenske varijable je razbijena. Dobijam da se rešenja dva sistema slično ponašaju. Ako se koefigijenti difrakcije/disperzije i nelinearnosti modifikuju da budu sinusoidalni onda se može dobiti stabilni solitonski i putujući talasi. Zatim ću primeniti F-ekspanziju na sisteme sa nelinearnošću višeg stepena, specijalno na sisteme sa kubično-kvintičnom nelinearnošću i sa septičnom nelinearnošću. Prezentujem, koliko mi je poznato, prva egzaktna i stabilna rešenja za ove sisteme. Nakon toga ću primeniti metodu na jednačinu Gros-Pitaevskog (GP). Primeljujući metodu na jednačinu GP susrećem se sa Rikatijevom digerencijalnom jednačinom koja nema opšte rešenje za mnoge sisteme. Ipak, prezentujem široku klasu rešenja za one sisteme kod kojih se Rikatijeva jednačina može rešiti. Za konstantnu jačinu eksternog polja i koeficijenta difrakcije rešenja se raspadaju, te je potreban eksterni dobitak da bi rešenja zadržala intenzitet, ali za sinusoidan oblike dve funkcije mogu se dobiti stabilna rešenja. Dodatna rešenja se mogu dobiti za kompleksnije oblike jačine eksternog polja i koeficijenta difrakcije. Takođe u tezi ću analizirati efekat linearnog potencijala na NŠDJ sa nelinearnošću trećeg stepena. Dodatak linearnog potencijala je detaljno proučen i nova rešenja su nađena za ovaj sistem. Na kraju ću analizirati stabilnost dobijenih rešenja. Dobija se da su u većini slučaja rešenja modulaciono stabilna kad se koristi menažiranje disperzije.
