Evoluta ravninske krivulje Vučković, Lea; Sošić, Milena
Acta mathematica Spalatensia. Series didactica,
12/2022, Letnik:
5
Paper
Odprti dostop
Proučava se evoluta proizvoljne krivulje u ravnini i pritom se izvode formule za određivanje parametarskih jednadžbi evolute krivulje zadane vektorskom jednadžbom, odnosno parametarskim ednadžbama, a ...potom i za krivulje zadane ekplicitnom, implicitnom i polarnom jednadžbom. Opisat će se konstrukcija evolute i obrazložiti njezina svojstva. Detaljnije će se analizirati i grafički prikazati evolute nekih ravninskih krivulja. Također, objasnit će se konstrukcija evolvente krivulje i argumentirat njezina povezanost s evolutom.
Cilj rada bio je prikazati neka od osnovnih muznih svojstava te izgled krivulje protoka mlijeka i njezinih sastavnih dijelova kod krava Jersey pasmine. Prosječno trajanje glavne i cijele mužnje ...iznosilo je 5,99 odnosno 10,13 minuta. Prosječni protok mlijeka iznosio je 2,01, a maksimalni protok mlijeka 3,09 kg/min. Utvrđeno je nešto duže trajanje uzlazne i silazne faze u odnosu na plato fazu krivulje protoka mlijeka. Zabilježena je nešto veća zastupljenost poželjnih krivulja protoka mlijeka koje su dobar indikator zdravlja vimena. Krave s poželjnijim krivuljama mlijeka imale su veću ukupnu količinu pomuženog mlijeka, te veću količinu mlijeka u prvoj, drugoj i trećoj minuti mužnje. Nadalje, utvrđeno je da su krave imale relativno brzo otpuštanje mlijeka, te su unutar jedne minute postizale protok mlijeka od 0,5 kg/min neovisno o izgledu krivulje protoka mlijeka. Nužna su daljnja istraživanja na većem broju grla kako bi se dobili što kvalitetniji zaključci o muznosti krava Jersey pasmine.
The aim of the study was to show some of the basic milking properties and the appearance of the milk flow curve and its components in Jersey cows. The average duration of the main and the whole milking was 5.99 and 10.13minutes, respectively. The average milk flow was 2.01 and the maximum milk flow was 3.09 kg / min. A slightly longer duration of the ascending and descending phases compared to the plateau phase of the milk flow curve was found. A slightly higher prevalence of desirable milk flow curves was recorded, the presence of which is a good indicator of udder health status. Cows with more desirable milk curves had a higher total amount of milk, and a higher amount of milk in the first, second and third minutes of milking. Furthermore, it was found that cows had a relatively fast milk ejection, and within one minute achieved a milk flow of 0.5 kg / min regardless of the appearance of the milk flow curve. Further research is needed on a larger number of animals in order to obtain the best possible conclusions about the milking of Jersey cows.
Dosadašnja istraživanja i njihovi rezultati u čistim i mješovitim sastojinama mezijske bukve na različitim staništima, kao najrasprostranjenije i najvažnije vrste drveća u Srbiji, nisu dovoljna za ...potpuno sagledavanje i sistematizaciju staništa i sastojina prema trenutnoj i potencijalnoj razini proizvodnosti (Vučković i Stajić 2005). Postoji više različitih načina utvrđivanja potencijalne proizvodnosti staništa. U tom kontekstu, visina stabala je generalno prihvaćena kao najznačajniji indikator proizvodnosti staništa. S obzirom na to, potencijalna proizvodnost staništa najčešće se utvrđuje preko stanišnog indeksa (eng.
site index
– SI) koji se određuje kao iznos dominantne visine sastojine u određenoj starosti (Monserud 1984; Sterba and Monserud,1993; Bravo and Montero 2001; Gadow 2002; Skovskaard and Vanclay 2008; Pretzsch 2009; Zlatanov et al. 2012; Bontemps and Bouriaud 2014; Kitikidou et al. 2015).
Usprkos velikom značenju evaluacije proizvodnog potencijala staništa za gospodarenje šumama, istraživanja proizvodnosti staništa u vidu stanišnih indeksa nisu intenzivno provođena u Srbiji, ali i u cijeloj regiji zemalja s prostora bivše države Jugoslavije (s izuzetkom Slovenije). U šumarstvu Srbije klasifikacija staništa prema proizvodnosti provodi se pomoću tzv. bonitetnih visinskih grafikona, koji predstavljaju izjednačenu ovisnost visine o prsnom promjeru i bonitetu staništa u obliku visinskih krivulja. Broj izjednačenih linija visina u ovisnosti o prsnom promjeru predstavlja broj bonitetnih razreda, ujedno i broj nizova obujma u tarifama, koji se određuju prema potrebi (Banković and Pantić 2006). U cilju poboljšanja postojećeg sustava klasifikacije staništa prema proizvodnosti, njegove usklađenosti s dominantnim načinom klasifikacije staništa po proizvodnosti i kreiranja mogućnosti za usporedbu dobivenih rezultata s rezultatima ocjene proizvodnog potencijala staništa bukve u Europi, neophodno je definirati krivulje stanišnih indeksa (eng.
site index curves
) za ovu vrstu drveća. Stoga, cilj istraživanja je (1) modeliranje odnosa visine i starosti dominantnih stabala bukve i (2) konstrukcija anamorfnih krivulja stanišnih indeksa za bukvu na području Žagubice u istočnoj Srbiji.Istraživanje je provedeno u bukovim jednodobnim sastojinama u području Žagubice (oko 15 000 ha ukupne površine pod šumom). Nadmorska visina je od 650 do 1250 m. Prosječna godišnja temperatura i količina oborina iznose 9,8°C i 682 mm. Za utvrđivanje stanišnih indeksa korišteni su podaci o starosti i visinama dominantnih stabala sa 109 subjektivno odabranih privremenih kružnih pokusnih ploha (u cilju pokrivanja cjelokupnog raspona stanišnih uvjeta i dobnih razreda), veličine 500 m2. Na svakoj plohi je utvrđena prosječna starost i srednja visina 10% najdebljih stabala. Izmjereni podaci o visinama u različitim starostima upotrijebljeni su za dobivanje prosječne krivulje rasta u visinu (metoda vodeće krivulje, eng.
guide-curve method
). Prosječna krivulja visinskog rasta je modelirana pomoću 7 različitih funkcija rasta (Tablica 2). Temeljna starost za izračun SI iznosi 100 godina (SI100). Kriteriji za odabir najboljeg modela bili su sljedeći: koeficijent determinacije, suma kvadrata relativnih odstupanja i relativna prosječna kvadratna greška (%). Odgovarajućim procedurama dobivene su tzv. anamorfne krivulje stanišnih indeksa.
Prvi dobiveni rezultati provedene analize pokazuju da primijenjeni modeli imaju relativno visoke koeficijente determinacije, ukazujući na to da objašnjavaju više od 65% varijacije u dominantnim visinama, što se prema kriterijima Cohena (1986) može smatrati kao veliki učinak. Između ostalih, modeli Korsuna i Schumachera pokazuju najbolje ukupne statističke značajke. Ipak, Korsunov model je preliminarno izabran za kalkulacije stanišnih indeksa zbog nešto boljih statističkih indikatora. U cilju dodatne ocjene primjenjivosti Korsunove funkcije i ostalih modela, konstruirane su i grafički predstavljene prosječne krivulje visinskog rasta (Slika 1). Korsunova se funkcija pokazala kao najbolja s obzirom na promatrane statističke indikatore i po praćenju tijekova rasta, pa je definitivno izabrana kao model za konstrukciju seta anamorfnih krivulja stanišnih indeksa (Slika 2).
Ovaj rad ima veliko značenje za šumarski sektor u Srbiji i bukvu kao dominantnu vrstu. U izvjesnom smislu, imajući u vidu veliki uzorak s dobro distribuiranim jedinicama unutar različitih starosti i stanišnih razreda, ovo istraživanje je prvo obimno istraživanje proizvodnosti bukovih staništa. Uz to, primijenjena metoda stratifikacije staništa prema proizvodnosti je po prvi puta provedena na bazi stanišnih indeksa dobivenih s privremenih pokusnih ploha. Dobivena saznanja imaju praktičnu primjenjivost u okviru gospodarenja šumama, kao temelj za donošenje odluka na polju planiranja, šumarske politike i ekologije. Naravno, potrebno je provoditi daljnja istraživanja u cilju proširivanja baze podataka i saznanja o odnosu između dominantnih visina i starosti u bukovim sastojinama u proučavanom području, kao i pristupiti konstrukciji polimofrnih krivulja stanišnih indeksa. Na taj način polimorfne krivulje stanišnih indeksa bile bi takođe vrlo korisne i u određivanju odgovarajućih uzgojnih tretmana, općoj klasifikaciji staništa s obzirom na njihovu kvalitetu i za implementaciju načela potrajnog gospodarenja šumama.
Data on average age and height of dominant moesian beech trees from 109 temporary sample plots were used to establish anamorphic site index curves (SI) calculated from seven growth functions (Chapman-Richards, Korf, Korsun, Hosfeld IV, Todorović, Schumacher and Prodan). The base age for calculation of SI was 100 (SI100). The guide curve method was applied. For the evaluation of the models, statistical as well as visual examinations were considered. The results showed that all the applied models had a relatively high coefficient of determination (R2) value, indicating that the models accounted for more than 65% of the variation in the dominant height, which can be considered as large effects. Korsun’s function shows the best overall statistics, which makes this model the most suitable for the construction of anamorphic site index curves for the study area.
The obtained results are of importance for effective decision making in forest management planning, forest policy, and ecology in Serbia. Namely, regarding the relatively large sample and well-distributed sample units per age and site classes as well as the source of data (temporary sample plots), the developed site index curves and the method of stratifying the sites according to their productivity were performed for the first time in Serbia. Future studies should be performed in order to expand the knowledge on the dominant beech height-age relationships in the studied region using another well-known procedure of site index construction – polymorphic site index curves and stem analysis data.
Slutnja Bircha i Swinnertona-Dyera opisuje skup racionalnih točaka na eliptičkoj krivulji. Ona je otvoren problem iz polja teorije brojeva i važi za jedan od najizazovnijih matematičkih problema. ...Slutnja je izabrana za jedan od sedam Millennium Prize problema, koje je naveo Clay Mathematics Institute i ponudio nagradu od 1.000.000 dolara za dokaz svakog problema. Ime je dobila po matematičarima Bryanu Birchu i Peteru Swinnerton-Dyeru koji su do iskaza slutnje došli tijekom prve polovice 1960-ih na temelju eksperimenata uz pomoć računala. Ukratko, eliptička krivulja \(E\) nad \(\mathbb{Q}\) ima \(L\)-funkciju \(L_E(s)\) koja je definirana isključivo u terminima lokalnih podataka (redukcija od \(E\) modulo prosti brojevi). BSD slutnja predviđa ponašanje funkcije \(L_E(s)\) u točki \(s=1\) u terminima globalnih podataka (rang grupe racionalnih točaka).
Krivulje s više fokusa Poljak, Stjepan; Rudec, Tomislav
Math.e,
06/2013, Letnik:
23, Številka:
1
Paper
Odprti dostop
Promatramo elipse i hiperbole koje su definirane s tri ili više fokusa. U prvom dijelu rada pokazat ćemo kako zapisati krivulje s dva i tri fokusa bez korijena samo pomoću standardnih operacija, ...kvadriranja, etc. Drugi dio rada bit će posvećen podijeli pa vladaj algoritmu kojim crtamo ovakve krivulje direktno po definiciji. U trećem dijelu rada navest ćemo neke primjere krivulja s tri, četiri ili više fokusa te dati njihov grafički prikaz.
U radu se analizira utjecaj različitih numeričkih modela mosta na definiranje krivulja vjerojatnosti oštećenja njihovih stupova analitičkim postupkom. Uspoređuju se dva različita modela, model s ...jednim stupnjem slobode te predloženi model cijelog mosta. Za potrebe određivanja krivulja vjerojatnosti oštećenja promatranog stupa, određeni su njegovi indeksi oštećenja pomoću dinamičke i statičke nelinearne analize (metoda postupnog guranja i time-history analiza). Utvrđeno je da način modeliranja utječe na krivulje nosivosti, duktilnosti i vjerojatnosti oštećenja.
Analiza studentskih poteškoća vezanih za određenu nastavnu temu može pomoći predavaču u stjecanju boljeg uvida u studentsko razumijevanje određene teme, što je preduvjet za visokokvalitetnu nastavu. ...Svrha ovog istraživanja sastojala se u demonstriranju načina na koji analize ometača mogu biti iskorištene za identificiranje studentskih poteškoća u određenom području. Kako bismo mogli provoditi invarijantna mjerenja i lako povezati studentske poteškoće s razinama njihovih postignuća, odlučili smo se studiju provesti u okviru Rasch formalizma. Naše istraživanje obuhvatilo je 14 zadataka iz područja valne optike i 286 studenata s pet sveučilišta u Sloveniji, Hrvatskoj te Bosni i Hercegovini. Rasch modeliranje korišteno je za procjenu težine zadataka i sposobnosti studenata, kao i za kreiranje krivulja vjerojatnosti ponuđenih opcija što nam je omogućilo povezivanje razine razumijevanja studenata s izborom pojedinačnih ometača. Utvrđeno je da svih 14 zadataka funkcionira u skladu s Rasch modelom. Za 10 zadataka imali smo ometače koje je odabralo najmanje 25 % studenata. Kod nekoliko od ovih 10 zadataka krivulje vjerojatnosti ponuđenih opcija ukazuju na to da atraktivnost pojedinačnih ometača ovisi o razinama sposobnosti učenika. Možemo zaključiti da analiza ometača primjenom Rasch modeliranja može dati vrlo korisne informacije za diferencijaciju nastave fizike.
Cilj je ovog istraživanja ispitati učinak dviju kategorija potresnih događaja na krivulju oštetljivosti čelične okvirne konstrukcije zgrade (građevine s različitim brojem katova) razmatranjem ...relativnog bočnog pomaka kao kriterija oštećenosti. Kategorije za opisivanje promjene relativnog bočnog položaja bile su blaga, umjerena, značajna i potpuna. Kako se povećava seizmički zahtjev, veća je vjerojatnost prekoračenja. Drugim riječima, ako maksimalno ubrzanje potresa raste, povećava se vjerojatnost prekoračenja (eng. probability of exceeding - PoE). Povećanja vršnog ubrzanja tla (PGA) povećat će PoE trokatne konstrukcije pri značajnom oštećenju. Krivulje oštetljivosti druge kategorije pokazuju pomak iz stanja mirovanja (postupni porast) u stanje stajanja (nagli porast) u usporedbi s potresima prve klase kod modela s pet katova. Sve veći broj katova utječe na povećanje PoE pri značajnom i teškom oštećenju i povećava vjerojatnost prekoračenja. Model sa sedam katova u značajnom načinu ima 10 i 15,5 % PoE veći od modela s pet i tri kata. Međutim, u stanju potpune oštećenosti, PoE u modelu s pet katova je 6 i 7 puta veća nego u modelu sa sedam i tri kata. Stoga se može zaključiti da je s povećanjem broja katova porasala PoE, što se može bolje uočiti pri značajnom stupnju oštenja.
Na Preddiplomskom stručnom studiju graditeljstva i Politehničkom diplomskom specijalističkom stručnom studiju graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu izvodi se nastava iz nekoliko matematičkih ...predmeta (Matematika 1 i 2, Matematika, Nacrtna geometrija u graditeljstvu 1 i 2), kao i iz predmeta usko povezanih s njima (Računarstvo u graditeljstvu, Parametarsko modeliranje 1 i 2). Mnoge teme iz nastavnog plana i programa tih predmeta su iste, međutim pristup i način njihove obrade je drukčiji (algebarski, geometrijski, primjenom računalnih programa, itd.). U članku su prikazani različiti pristupi obradi teme presjeka stošca i valjka ravninom, a koji se primjenjuju u sklopu nastave navedenih predmeta. Dani su prijedlozi za moguću bolju realizaciju ishoda učenja navedenih predmeta njihovim adekvatnijim međusobnim povezivanjem.
PDF
