The generalized Franchetta conjecture for hyper-Kähler varieties predicts that an algebraic cycle on the universal family of certain polarized hyper-Kähler varieties is fiberwise rationally equivalent to zero if and only if it vanishes in cohomology fiberwise. We establish Franchetta-type results for certain low (Hilbert) powers of low degree K3 surfaces, for the Beauville–Donagi family of Fano varieties of lines on cubic fourfolds and its relative square, and for 0-cycles and codimension-2 cycles for the Lehn–Lehn–Sorger–van Straten family of hyper-Kähler eightfolds. We also draw many consequences in the direction of the Beauville–Voisin conjecture as well as Voisin's refinement involving coisotropic subvarieties. In the appendix, we establish a new relation among tautological cycles on the square of the Fano variety of lines of a smooth cubic fourfold and provide some applications. La conjecture généralisée de Franchetta pour les variétés hyper-Kählériennes prédit que la restriction à une fibre d'un cycle algébrique défini sur la famille universelle de certaines variétés hyper-Kählériennes est rationnellement triviale si et seulement si elle est homologiquement triviale. Nous établissons des résultats de type Franchetta pour certaines puissances de bas degré de surfaces K3 de bas degré, pour la famille de Beauville–Donagi des variétés de Fano de droites sur les cubiques lisses de dimension 4 et leur carré relatif, et pour les 0-cycles et les cycles de codimension 2 pour la famille de variétés hyper-Kählériennes de Lehn–Lehn–Sorger–van Straten. Nous en déduisons également de nombreuses conséquences concernant la conjecture de Beauville–Voisin, ainsi que sa généralisation due à Voisin incluant les sous-variétés co-isotropes. Dans l'appendice, nous établissons une nouvelle relation parmi les cycles tautologiques sur le carré de la variété de Fano des droites d'une hypersurface cubique lisse de dimension 4 et fournissons des applications.